Video Không gian vectơ số học n chiều ?

Copy

Kinh Nghiệm về Không gian vectơ số học n chiều Mới Nhất

Hoàng Phương Linh đang tìm kiếm từ khóa Không gian vectơ số học n chiều được Update vào lúc : 2022-05-18 17:40:11 . Với phương châm chia sẻ Mẹo Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read nội dung bài viết vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha.

Nội dung chính

Không gian hữu hạn chiềuTổ hợp tuyến tínhKhông gian (n) chiềuTích vô hướngĐộ dài của vectorKhoảng cách giữa hai vectorTrực giaoHình chiếu của một vector lên không khí conQuá trình Gram-SchmidtTọa độChuyển cơ sởTính chấtVideo liên quan 17 SEP 2022 • 12 mins read

Chúng ta đã biết khái niệm về vector hình học ở cấp 3. Chúng hoàn toàn có thể cộng với nhau và nhân với một số trong những (scaling) cho ra một vector mới. Trong thực tế có nhiều thứ mang hai đặc điểm đó, ví dụ như đa thức: hai đa thức hoàn toàn có thể cộng với nhau, một đa thức hoàn toàn có thể nhân với một số trong những, tạo ra một đa thức mới. Người ta phát hành một khái niệm không khí vector (vector space) tổng quát mà trong đó vector hoàn toàn có thể là một vector hình học, một đa thức, một hàm số liên tục, v.v..

Xét tập (V) mà mỗi phần tử gọi là một vector và trường số thực (mathbbR). Giả sử ta có hai phép toán: phép cộng hai vector và phép nhân một vector với một số trong những thực. (V) là một không khí vector nếu nó thỏa mãn tất cả những điều sau:

Với (a,bin mathbbR) và (x,yin V) ta có:

(axin V) (a(x+y) = ax+ay) ((a+b)x = ax+bx) (a(bx) = (ab)x) (1times x = x)

Hệ quả:

(0x = overrightarrow0) (-x = (-1)x) (aoverrightarrow0 = overrightarrow0) Nếu (kx=overrightarrow0) thì hoặc (k=0) hoặc (x=overrightarrow0).

Nếu (Wsubset V) và phép cộng đóng kín trong (W) và phép nhân với một số trong những thực cũng đóng kín trong (W) thì (W) gọi là một không khí con (subspace).

Không gian hữu hạn chiều

Tổ hợp tuyến tính

Cho một tập (n) vector (S=v_1,v_2,dots, v_n\) thuộc không khí vector (V). Một tổ hợp tuyến tính (linear combination) của (n) vector này là một vector có dạng (c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n) trong đó (c_i) là những hằng số thực. Tập (W) gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính được gọi là một bao tuyến tính (linear span) của tớ (S), ký hiệu là (mathrmspan(S)). Bản thân bao tuyến tính là một không khí vector, và đó là một không khí con của (V).

Độc lập tuyến tính (aka Linear Independence) là một đặc điểm mô tả những họ vector (S=v_1,v_2,dots, v_n\) nào có tính chất sau:

[c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n=0\ Leftrightarrow c_1=c_2=dots=c_n=0]

Giả sử dựng ma trận (A) với mỗi cột là tọa độ của những vector trong (S), và đồng thời (V) là một không khí (n) chiều (tức (A) là ma trận vuông), thì phương trình (c_1v_1+c_2v_2+dots+c_nv_n=0) hoàn toàn có thể được viết thành hệ phương trình thuần nhất. Lúc này để hệ có nghiệm duy nhất, (mathrmdet(A)neq 0). Đây cũng là vấn đề kiện cần và đủ để (S) là một họ độc lập tuyến tính.

Nói nôm na, độc lập tuyến tính (từ trái nghĩa: phụ thuộc tuyến tính) nghĩa là không tồn tại bất kể (v_i) nào hoàn toàn có thể được màn biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính từ (n-1) vector còn sót lại. Định nghĩa toán học thực sự sẽ phức tạp hơn và khó tưởng tượng hơn cách diễn đạt này.

Không gian (n) chiều

Trong một không khí vector (V), nếu có (n) vector độc lập tuyến tính và không còn quá (n) vector độc lập tuyến tính thì (V) được định nghĩa là một không khí (n) chiều.

Cơ sở

Một họ (n) vector (S=v_1,v_2,dots, v_n\) độc lập tuyến tính trong không khí (n) chiều (V) được gọi là một cơ sở (basis, số nhiều bases). Nếu (S) là cơ sở của (V) và ta có (uin V), (u = c_1v_1 + dots + c_nv_n) thì ((c_1, dots, c_n)) được gọi là tọa độ của (u) dưới cơ sở (S).

Trong không khí vector (n) chiều, một cơ sở (S=v_1, v_2,dots,v_n\) gọi là cơ sở chính tắc (standard basis) nếu (v_i) là một vector có thành phần thứ (i) bằng 1 và những thành phần còn sót lại bằng 0 (có dạng (v_i = (0 0 dots 0 1 0 0dots 0))). Thông thường, nếu không nêu rõ cơ sở của một không khí thì ta thường ngầm hiểu và sử dụng cơ sở chính tắc cho thuận tiện.

Một số tính chất đáng lưu ý:

(S) độc lập tuyến tính (Leftrightarrow) (S) là cơ sở của (mathrmspan(S)). (S) là một cơ sở của (V Leftrightarrow) mỗi vector trong (V) luôn có một tổ hợp tuyến tính của (S).

Ta màn biểu diễn (S=v_1,v_2,dots, v_n\) dưới dạng ma trận (M) gồm (n) cột ((M) hoàn toàn có thể không vuông), mỗi cột là tọa độ của vector đối với cơ sở (B) nào đó. Hạng của tớ vector (S) được định nghĩa bằng hạng của (M). Khi đó:

[rho(M) = rho(S) = mathrmdim(span(Smathrm))]

Gọi (M^*) là row-echelon form của (M) với (j_1, dots, j_n\) là những pivot column, khi đó (v_j_1, dots, v_j_n\) là basis của (mathrmspan(S)).

Bổ đề Steinitz: Nếu ta có (S = v_1, v_2,dots,v_r\) là một họ vector độc lập tuyến tính trong không khí (n) chiều (V) ((r < n)) thì ta hoàn toàn có thể tương hỗ update (n-r) vector nữa để hình thành một cơ sở của (V).

Tích vô hướng

Trong hình học Euclid (mathbbR^n), ta đã được biết khái niệm tích vô vị trí hướng của hai vector (x=(x_1,x_2,dots,x_n)) và (y=(y_1,y_2,dots,y_n)) như sau:

[langle x,yrangle = x_1y_1 + x_2y_2 + dots + x_ny_n]

Tuy nhiên trong một không khí vector bất kỳ, tích vô hướng hoàn toàn có thể mang những dịnh nghĩa rất khác nhau. Dưới đây là 5 tiên đề để một phép tính được công nhận là tích vô hướng:

(langle a,brangle) là một số trong những xác định với mọi vector (a,b) (langle a,brangle = langle b,arangle) (langle a+b,crangle = langle a,crangle + langle b,crangle) (langle ka,brangle = klangle a,brangle) với (k) là một số trong những (langle a,arangle geq 0) và (langle a,arangle=0 Leftrightarrow a=overrightarrow0)

Ví dụ khác: Ta đã biết tập hợp tất cả những hàm liên tục trên ([a,b]) là một không khí vector. Tích vô vị trí hướng của không khí này hoàn toàn có thể được định nghĩa như sau:

[langle f,grangle = int^b_a f(x)g(x)dx]

Không gian vector (n) chiều có trang bị một tích vô hướng gọi là không khí Euclid (Euclidean space).

Độ dài của vector

Độ dài của vector (v) ký hiệu là (vert vvert), bằng căn bậc hai của tích vô vị trí hướng của (v) và chính nó, tức là (sqrtlangle v,vrangle)

Các tính chất:

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz chỉ ra rằng: [vertlangle u,vranglevert leq vert uvert timesvert vvert]

(vert vvert geq 0) (vert vvert =0 Leftrightarrow v=overrightarrow0) (vert kvvert = vert kvert vert vvert) (vert u+vvert leq vert uvert + vert vvert)

Khoảng cách giữa hai vector

Định nghĩa:

[d(u,v) = vert u-vvert]

Tính chất:

(d(u,v) = d(v,u)) Bất đẳng thức tam giác: (d(u,v) leq d(u,w) + d(w,v))

Trực giao

Hai vector vuông góc với nhau (còn gọi là trực giao – orthogonal) khi tích vô vị trí hướng của chúng bằng 0. Một họ vector mà trong đó những vector đôi một trực giao với nhau được gọi là họ trực giao (orthogonal set). Thêm nữa, nếu tất cả những vector trong họ đều có độ dài bằng 1 thì họ đó gọi là họ trực chuẩn (orthonormal).

Họ trực giao của những vector khác 0 luôn luôn là họ độc lập tuyến tính.

Nếu một không khí (n) chiều có cơ sở là một họ trực chuẩn (S=v_1, v_2,dots,v_n\) thì mọi vector (u) trong không khí đó hoàn toàn có thể màn biểu diễn dưới dạng sau:

[u = langle u,v_1rangle v_1 + langle u,v_2rangle v_2 + dots + langle u,v_nrangle v_n]

Hình chiếu của một vector lên không khí con

Giả sử (S=v_1, v_2,dots,v_m\) là một họ trực chuẩn những vector trong (V). Gọi (W=mathrmspan(S)) là không khí con của (V). Hình chiếu trực giao (đặt là (w)) của vector (u) bất kỳ trong (V) lên không khí con (W) là một vector thuộc (W) và (u-w) trực giao với mọi vector trong (W). Hình chiếu trực giao được tính bằng công thức sau:

[w = langle u,v_1rangle v_1 + langle u,v_2rangle v_2 + dots + langle u,v_mrangle v_m]

Chứng minh thuận tiện và đơn giản (win W). Trường hợp (u-w) trực giao với mọi vector (x) trong (w) hoàn toàn có thể được suy ra bằng phương pháp chứng tỏ (u-w) trực giao với mọi (v_iin S):

[beginaligned langle u-w, v_irangle & = langle u,v_irangle - langle w,v_irangle\ & = langle u,v_irangle - langle u,v_irangle\ & = 0 endaligned]

Do mọi vector (x) trong (W) đều được màn biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính những vector trong họ (S) và (u-w) trực giao với tất cả những vector trong họ (S) nên suy ra (u-w) trực giao với mọi vector (x).

Như vậy biểu thức (w) là công thức đúng.

Quá trình Gram-Schmidt

Cho một không khí vector (V) có cơ sở (S=v_1, v_2,dots,v_n\). Phương pháp biến hóa (S) thành một họ trực giao (S'=u_1, u_2,dots,u_n\) sao cho (mathrmspan(S') = V) gọi là quá trình trực giao hóa. Một trong những phương pháp đó là quá trình Gram-Schmidt:

[u_1 = v_1, eta_1 = fracu_1] [u_2 = v_2 - w_2, eta_2 = fracu_2u_2] [vdots] [u_n = v_n - w_n, eta_n = fracu_n]

Trong số đó (w_i) là vector hình chiếu của (v_i) lên không khí tạo bởi họ trực chuẩn (\eta_1, dots, eta_i-1\), được tính như vừa trình bày ở phần trên.

Kết thúc (n) bước ta có (\eta_1, dots, eta_i-1\) là họ đã được trực chuẩn hóa từ cơ sở (S).

Tọa độ

Giả sử (S=v_1, v_2,dots,v_n\) là một họ những vector độc lập tuyến tính sinh ra (V). Như đã đề cập ở trên, mọi vector (uin V) được màn biểu diễn bằng một tổ hợp tuyến tính những vector trong cơ sở:

[u = c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_nv_n]

Vector ((u)_S = (c_1,c_2,dots,c_n)) gọi là vector tọa độ của (u) đối với cơ sở (S) (coordinate vector of (u) with respect to (S)). Ma trận

[[u]_S=beginbmatrix c_1\ c_2\ dots\ c_n endbmatrix]

gọi là ma trận tọa độ của (u) đối với cơ sở (S) (coordinate matrix of (u) with respect to (S)).

Chuyển cơ sở

Ví dụ

Trong không khí (mathbbR^2) xét hai cơ sở:

[S = v_1,v_2 = left\beginbmatrix1\2endbmatrix, beginbmatrix3\-1endbmatrixright\ S' = v_1',v_2' = left\beginbmatrix1\0endbmatrix, beginbmatrix0\1endbmatrixright\\]

Cho (u = 2v_1 + 7v_2). Hãy tìm cách màn biểu diễn (u) qua (v_1') và (v_2').

Cách giải khá đơn giản: Đầu tiên ta tìm cách màn biểu diễn (v_1) và (v_2) trước, rồi thay vào biểu thức (u).

[left{beginmatrix v_1 = v_1' + 2v_2'\ v_2 = 3v_1' - v_2'\ endmatrixright.]

Từ đó, (u = 2(v_1' + 2v_2') + 7(3v_1'-v_2') = 23v_1' - 3v_2')

Tổng quát hơn:

[[u]_S' = beginbmatrix1 & 3\ 2 & -1endbmatrixbeginbmatrix2\ 7endbmatrix = P[u]_S]

Ma trận (P) được gọi là ma trận quy đổi (change-of-basis matrix) từ cơ sở (S) sang (S'). Ma trận này được tính bằng phương pháp sau:

Dựng những vector trong cơ sở (S) và (S') thành những cột, tạo nên hai ma trận lần lượt là (A) và (B). Tính (P = B^-1A).

Khi được biết màn biểu diễn ([u]_S), ta hoàn toàn có thể tính ([u]_S' = P[u]_S). trái lại, lúc biết ([u]_S'), ta hoàn toàn có thể tính ([u]_S = P^-1[u]_S').

Thật vậy, giả sử tất cả chúng ta màn biểu diễn mỗi vector (v_1, dots, v_n) qua cơ sở mới (S') như sau:

▶ Xem thêm

[left{beginmatrix v_1 = p_11v_1' + p_21v_2' + dots + p_n1v_n'\ v_2 = p_12v_1' + p_22v_2' + dots + p_n2v_n'\ dots\ v_n = p_1nv_1' + p_2nv_2' + dots + p_nnv_n' endmatrixright.]

Ta có:

[beginbmatrix v_1 & dots & v_n endbmatrix = beginbmatrix v_1' & dots & v_n' endbmatrix beginbmatrix p_11 & dots & p_1n\ vdots & ddots & vdots\ p_n1 & dots & p_nn endbmatrix]

Viết gọn hơn là: (A = BP Leftrightarrow P = B^-1A)

Xét một vector (u) có tọa độ ([u]_S = (x_1, dots, x_n)) và ([u]_S' = (y_1, dots, y_n))

[beginaligned u &= beginbmatrix v_1 & dots & v_n endbmatrixbeginbmatrix x_1\ dots\ x_n endbmatrix\ &= Abeginbmatrix x_1\ dots\ x_n endbmatrix\ &= BPbeginbmatrix x_1\ dots\ x_n endbmatrix\ &= Bleft(Pbeginbmatrix x_1\ dots\ x_n endbmatrixright) endaligned]

Bản thân (Pbeginbmatrix x_1 & dots & x_n endbmatrix^T) cũng là một vector, và việc nó được nhân tiền tố với (B) (gồm những vector trong (S')) tạo ra (u) đã cho tất cả chúng ta biết (Pbeginbmatrix x_1 & dots & x_n endbmatrix^T) là màn biểu diễn của (u) trong cơ sở (S').

Lập luận tương tự, với (P^-1 = A^-1B) đó đó là ma trận chuyển cơ sở từ (S') sang (S).

Side note: Việc gọi (P) là ma trận chuyển cơ sở cần đi kèm với công thức ([u]_S = P[u]_S') để đã cho tất cả chúng ta biết sự liên hệ toán học rõ ràng giữa hai tọa độ. Cách nói “chuyển từ cơ sở (S) sang (S')” vẫn gần đầy đủ và dễ gây ra hiểu nhầm.

Tính chất

Chính từ cách xây dựng (P) thông qua hai cơ sở (vốn độc lập tuyến tính) nên (mathrmdet(P)neq 0), tức là (P) khả đảo. Ma trận (P^-1) gọi là ma trận quy đổi từ (S') sang (S) vì:

[[u]_S = P^-1[u]_S']

Mặt khác, nếu (S) và (S') là hai cơ sở trực chuẩn thì (P) gọi là ma trận trực giao với tính chất

[PP^T = P^TP = I]